微积分学备忘录

均值不等式

四种均值

1. 平方平均值 $Q_n=\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} }$
2. 算术平均值 $A_n=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
3. 几何平均值 $G_n=\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$
4. 调和平均值 $H_n=\frac{1}{\sum_{i=1}^n {\frac{1}{x_i}}}$

四种均值的大小关系

$$ Q_n \geq A_n \geq G_n \geq H_n $$

证明$G_n \leq A_n$

• 分析: 采用数学归纳法. 易证$n=2$的情况. 令$a=A_n$. 要从n-1推出n, 先让开n次方转为幂次. 左端设法变为$a_1a_2\cdots a_n$, 右端设法变为$a^{n-1}\times a$. 原右边是n-1个数求均, 要变成n个数求均, 需要修改第一项以加入$a_n$. 令$\frac{a_2+\cdots +a_{n-1}+x}{n-1}=a$, 左边只能平分n-1份, 少了一份恰为a, 则$x=a_1+a_n-a$. 原左边对应地要将$a_1$替换成$a_1+a_n-a$, 且最后补乘了$a$, 所以应该建立关系$a_1a_n$~$a(a_1+a_n-a)$. 从不等式$(a-a_1)(a-a_n)\leq 0$可以获得这个关系.

• 证明:
  不妨设$a_1, a_2$为所有项中的最小,最大值. $a=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$, 则$a_1\leq a\leq a_n$.
  $$(a-a_1)(a-a_n)\leq 0 \Rightarrow a_1a_n \leq a(a_1+a_n-a)$$
  易证n=2时成立.
  假设当n-1时成立,即
  $$\sqrt[n-1]{a_2+\cdots +a_{n-1}+(a_1+a_n-a)}\leq \frac{a_2+\cdots +a_{n-1}+(a_1+a_n-a)}{n-1}=a$$
  $$a_1a_2\cdots a_n\leq a2+\cdots +a_{n-1}+a(a_1+a_n-a)\leq a^{n-1}\cdot a=a^n $$
  $$\therefore\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq a=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$$

数列

收敛数列定义

$设数列a_n及常数a, 若\forall \epsilon > 0, \exists N \in Z^+,当n>N时, 总有|a_n-a|<\epsilon, 则称数列{a_n}的极限为a, 记作$
$$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a或a_n \to a(n\to \infty)$$
$此时也称数列收敛, 否则称数列发散.$

收敛数列的性质

• 收敛数列的极限唯一
  • 证法: 反证法.取$\epsilon = \frac{b-a}{2}$, 当$n>max{N_1, N_2}, \frac{a+b}{2} < a_n < \frac{a+b}{2}$, 矛盾.
• 收敛数列必有界
  • $\epsilon 取1, n>N_1时, a-1<a_n<a+1. 再考虑前N_1有限项, 可知有界$
  • 函数收敛无法保证前有限项
  • 推论: 无界数列发散.
  • 有界不一定收敛(跳跃型)
  • 发散不一定无界(跳跃型)
• 收敛数列的不等式性质
  • $\lim a_n < \lim b_n, 则\exists N, 当n>N, a_n<b_n$
  • 反之不一定成立, 极限可能相等
  • 推论: 若$a_n \geq b_n,$则$a \geq b$
• 保号性
  • 若极限值非零, 则有连续无穷多项的符号和极限值相同
  • 保号性是不等式性质的推论
  • 推论: 若有连续无穷多项非负(非正), 则极限值非负(非正) (极限值可能为0).
• 两数列极限的四则运算
  • 条件是两数列极限存在. 作为除数的极限非零.
  • 推广: 有限项数列极限可进行四则运算.
    • 条件: 各项数列极限存在, 作为除数的极限非零.
    • 对于分式, 调整分子分母使上下极限存在, 套用四则运算化出分子分母极限.
    • 对于$\infty -\infty$型, 通分或有理化成分式.

定理

改变数列的有限项, 数列的收敛性和极限不变

• 若收敛数列被改变, 设被改变的最后一项是k, 取$N=\max(k, N_1)$, 就能维持$\epsilon-N$定义.
• 若发散数列改变有限项, 变为收敛数列, 则与上矛盾.

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n=a$ $\epsilon-N$定义

$\forall \epsilon >0, \exists N\in Z^*, 当n>N时, 总有|a_n-a|<\epsilon.$

常见数列极限

• $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1$
  • 分析: 令$h_n=\sqrt[n]{n}-1>0$, 难以直接由$h_n-0<\epsilon$推算出$N$, 应当适当放大$h_n$. 变形得$n=(h_n+1)^n$, 应令右边缩小并抛弃n次方. 用二项式定理展开, 最终得到$h_n<某个值$.
  • 证明:
    令$h_n=\sqrt[n]{n}-1>0$, 则
    $$n=(h_n+1)^n=1+nh_n+\frac{n(n-1)}{2}h_n^2+\cdots+h_n^n>1+\frac{n(n-1)}{2}h_n^2$$
    $$\Rightarrow n>1+\frac{n(n-1)}{2}h_n^2\Rightarrow h_n<\sqrt{\frac{2}{n}}$$
    令$\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon$, 得$n>\frac{2}{\epsilon^2}$
    $\therefore \forall \epsilon >0, 取N>\frac{2}{\epsilon^2}, 则当n>N时,总有|\sqrt[n]{n}-1|<\epsilon$.
    $\therefore \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1$
• $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{k\frac{1}{n}} = 1(k>0)$
• $q^n \to 0(|q|<1, n \to \infty)$
  • 分析: 若q=0... 若q!=0, 取n > $[\frac{\ln \epsilon}{\ln |q|}]$.
• $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1$
  • 分析: 若a=1... 若a>1, 强行$\log_a$. 若a<1, 倒数.
• $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = 0$
  • 分析: 分子有理化后, 分母缩小(适当放大法).
• $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n^k} = 0(k>0)$
• $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0$
  • 分析: 单调有界. 求一下$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$. 证明收敛后对递推式两边求极限.
• $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0$
• $\lim\limits_{n\to\infty} 分式: 观察最高次$
• $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n} = max(a_1,\cdots,a_m), a_i>0$ 下文分析
• $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^k = 1, k是任意常数$ 下文分析. 这意味着不对接下来一个极限造成影响
• $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e(e的一个定义)$ 收敛性在下文分析
• $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots + \frac{1}{n!} = e$ 夹逼准则, 课件1_2-3 22页

无穷大数列定义

$设数列a_n及常数a, 若\forall M > 0, \exists N \in Z^+,当n>N时, 总有|a_n| >M, 则称数列{a_n}是无穷大数列, 或称{a_n}趋于无穷大, 记作$
$$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty或a_n \to \infty(n\to \infty)$$
$特别地, 有正无穷大数列和负无穷大数列, 记作.\lim\limits_{n\to \infty}a_n=+\infty或\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-\infty$

• 无穷大数列是发散数列(极限不存在), 是无界数列
• 发散数列不一定是无穷大数列
• 无界数列不一定是无穷大数列

数列极限存在的准则

夹逼定理

1. $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=a$
2. $a_n\leq c_n\leq b_n(n>N_0)$
3. $\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}c_n=a$

• 分析: 取$n>max {N_0,N_1,N_2}$, 此时a_n, b_n都在邻域内, 所以夹着的c_n也在邻域内.

例子

• $\lim\limits_{n\to\infty} n(\frac{1}{n^2+\pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n\pi})$
  • 分析: 分别放大缩小分母.
• $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n} = max(a_1,\cdots,a_m), a_i>0$
  • 分析: 常数在开无穷次方根时可以忽略, 因此只挑出最大的, 缩小系数为1, 放大系数为m即可.
• $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\cdots\frac{2n-1}{2n} = 0$
  • 分析: 大于零是显然的, 将分子平方再开方, 利用$1\cdot 3<2^2$形式放大分子约分.
• $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^k = 1, k是任意常数$
  • 分析: k=0时显然. k为正整数时由有限项极限四则运算可得, k为负整数时倒数. 一般地, 另m=k向下取整, $(1+\frac{1}{n})^m \leq (1+\frac{1}{n})^k \leq (1+\frac{1}{n})^{m+1})$, 夹逼.
• 已知$|a_{n+1}|\leq q|a_n|(n>N, 0<q<1)$,证明数列极限为0.
  • 分析:$n\to\infty$,考虑第N+n项, 此时$0\leq|a_{N+n}|\leq q^{n-1}|a_{N+1}|\to 0$

数列收敛充要条件: 任一子数列都收敛且极限相等

子数列

• 原数列中取无穷多项并按原有的次序排列.
• 一般约定$子数列n_k\geq k原数列$

充要证明

• 分析:
  • 充分性. 原数列n>N时在邻域内, 则子数列取K使$n_K>N$, 当k>K时, $n_k>n_K>N$在邻域内.
  • 必要性. 原数列是原数列的子数列.

推论

数列发散的充要条件是两个子数列极限存在但不相等, 或一个子数列发散.

• 设法构造易于证明的子数列. 常和三角函数周期性有关系.

若几个子数列的极限存在且相同, 包含的项的并集等于原数列的所有项, 则可得原数列的极限.

• 分析: 取N>max{N1, N2, ...}, 任意项都在邻域内.

(单调有界准则)单调有界数列必有极限

• 区分严格单调和不严格单调.
• 统称单调数列.
• 分析: 由确界原理得待证极限a.

例子

• $数列:(1+\frac{1}{n})^n收敛$
  • 分析: 单调性.均值不等式$\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^n\cdot 1}<\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$, 故$a_n<a_{n+1}$. 有界性. 二项式展开, 各项放大剩分母阶乘, 阶乘放大到分母为2的幂, 等比求和.
• $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0$
  • 分析: 单调有界. 求一下$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$. 证明收敛后对递推式两边求极限.

单调常用方法

• 递推式直接看出, 或求两边极限后看出
• 作差法/作商法, 结合上下界看出

有界常用方法

• 递推式放缩/均值不等式, 得到界
• 符号显然

三角函数

定义

• 余切 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$
• 正割 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$
• 余割 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$

变换

弦和公式

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$
• $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$

诱导公式

• 半周期性
  • $\sin(x+\pi) = -\sin(x)$
  • $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$
  • $\tan x, \cot x最小正周期是\pi$
• 奇偶性
  • $\sin(-x) = -\sin(x) 奇函数$
  • $\cos(-x) = \cos(x) 偶函数$
  • $\tan(-x) = -\tan(x) 奇函数$
  • $\cot(-x) = -\cot(x) 奇函数$
• 圆关于y轴对称性
  • $\sin(\pi-x) = \sin(x)$
  • $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$
  • $\tan, \cot的周期是\pi, 套用奇函数性质$
• 直角加
  • $\sin(\pi/2+x) = \cos x$
  • $\cos(\pi/2+x) = -\sin x$
  • $\tan(\pi/2+x) = -\cot x$
  • $\cot(\pi/2+x) = -\tan x$
• 直角减(余角)
  • $\sin(\pi/2-x) = \cos x$
  • $\cos(\pi/2-x) = \sin x$
  • $\tan(\pi/2-x) = \cot x$
  • $\cot(\pi/2-x) = \tan x$
• 倍角公式
  • $\sin2x = 2\sin x\cos x$
  • $\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
  • $\tan2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$
• 半角公式
  • 来源
    $$ \cos 2x = 2 \cos^2 x-1 = 1-2\sin^2 x $$
  • $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$
  • $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}$
  • $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}_{(同乘凑倍角)} =\frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x}$
• 万能公式
  • $\sin x = \sin(2\frac{x}{2}) = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{2\tan \frac{x}{2}}{\sec^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}$
  • $\cos x = \sin(2\frac{x}{2}) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$
  • $\tan x = \frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}$
• 积化和差
  • 用$\sin(a \pm b)$凑$\sin\cdot \cos$
  • 用$\cos(a \pm b)$凑$\sin \cdot\sin, \cos\cdot \cos.$
  • $\sin a \cos b = \frac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$
  • $\cos a \sin b = \frac{1}{2}(\sin(a+b)-\sin(a-b))$
  • $\cos a \cos b = \frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$
  • $\sin a \sin b = -\frac{1}{2}(\cos(a+b)-\cos(a-b))$
• 和差化积
  • $a=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}$
  • $b=\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}$
  • $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
  • $\sin a - \sin b = 2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
  • $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$
  • $\cos a - \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$
  • 帅+帅=帅哥
  • 帅-帅=哥帅
  • 哥+哥=哥哥
  • 哥-哥=负嫂嫂

函数

无穷小量

• 对任意eps>0, 存在delta去心邻域, 使$|f(x)|<eps$. 无穷小量是一个变量
• 无穷小是极限为零的函数
• 无穷小可能在某邻域为0
• 0是唯一一个可视作无穷小的常熟

函数极限与无穷小量

• （定理）$x \to x_0$,f(x)极限为A$\Leftrightarrow f(x)=A+a(x)$, a(x)为无穷小量

无穷小阶的比较

• $\lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k} = c \neq 0$,则当$x \to x_0$时,f(x)是$(x-x_0)$的k阶无穷小.
• 特殊的无穷小量
  • $x \to 0, f(x),g(x)是无穷小量,且f(x)=(x+1)g(x), 则f(x) \sim g(x)$, 尽管他们最高次数不相同
  • 最高次数不同而等价, 意味着相乘不改变等价性, 但相加会改变等价性.
  • 具体例子:$f(x)=x^3-x \sim x^2-x, g(x)=x, f(x)+g(x)=x^3, 但x^2-x+x=x^2不等价于x^3$
  • 同阶与否与最高次数无关, 一切判定以比值为准.

常用的等价无穷小量

$x \to 0$时

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x$
• $\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x$ (n为正整数)(注意是加号)
• $\arcsin x \sim x, (u=\arcsin x)$
• $\arctan x \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x, (\lim \ln(1+x)^{\frac{1}{x}})$
• $e^x-1 \sim x, (u=e^x-1, \lim \frac{u}{\ln(1+u)})$
• $a^x-1 \sim x\ln a, (\lim \frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\lim \frac{x\ln a}{x} = \ln a), a > 0$
• $(1+x)^a-1 \sim ax, (\lim \frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim \frac{e^{a \ln (1+x)}-1}{x} = \lim \frac{a \ln (1+x)}{x} = a), a \neq 0$
• x可以用其他函数替代，只要趋向于0即可

常用变换

• $\lim \limits_{x \to 0} (1-x)^{\frac {1}{x}} = \frac{1}{e}$
• $\sin x + x^2=x(\frac{\sin x}{x} + x)$
• $\tan x - \sin x = \tan x(1- \cos x)$
• $a^x = e^{x \ln a}$ (留意后面有没有-1配合等价无穷小替换)
• $x^a = e^{a \ln x}$
• 在$x \to \infty, 求\lim e^{f(x)g(x)}, 留意最高次相同\Rightarrow 系数比$
• $\lim \limits_{n \to \infty} (\frac{\sqrt[n]{a_1}+\cdots +\sqrt[n]{a_m}}{m}-1)n = \lim \limits_{x \to 0} (\frac{a_1^x+\cdots + a_m^x}{m}-1)\frac{1}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x\ln a_1 + \cdots + x\ln a_m}{mx} = \ln \sqrt[m]{a_1 \cdots a_m}, m是正整数, 归结准则$
• 次方相同, 底数不同,强行同除?!

  求$\lim \limits_{x \to 0} \frac{(1+x)^\frac{1}{x}+(1+2x)^\frac{1}{2x}}{\sin x} = \frac{e}{2}$

• 求极限的最后, 有界量(尤其与$\sin\infty$,$\cos \infty$有关)乘无穷小量等于无穷小量

无穷小量阶数的性质

• $o(x^n)+o(x^m) = o(x^m), x \to 0, n>m>0$
• $o(x^n) \cdot o(x^m) = o(x^{n+m}), x \to 0$
• 无穷小量相加，高阶丢失，保留低阶.
• 无穷小量相乘，阶数相加.
• 无穷小量$o(高阶)=o(低阶)$是正确的.
• 无穷小量可以写成$f(x)=g(x)+o(x^2)$, 求极限时设法出现$\frac {o(x^2)}{kx^2}$即可消去

证明题

• 证明$x \to 0, f(x) = g(x)+o(h(x))$

  计算$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-g(x)}{h(x)} = 0$

• 证明函数是无穷小量

  证明函数极限为0

• 证明函数是无节量

  对任意M>0,找到$|f(x)| > M$

无穷大量

• 对任意M>0，存在空心邻域(x0, $\delta$), 使$|f(x)| >M$, 则f(x)是在$x \to x0$时的无穷大量
• 无穷大量不是一个很大的数
• 无穷大量的极限不存在

无穷大量与无穷小量的关系

• 无穷大量的倒数量是无穷小量
• 若无穷小量恒不为零,则该无穷小量的倒数量为无穷大量

等价量

• 不论无穷大或无穷小, 只要$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$, 就称$当x \to x_0时,f(x)与g(x)是等价的量, 记作f(x) \sim g(x), (x \to x_0)$
• g(x)可以是不为零的常数.故可以有$f(x)~A, (A \neq 0)$
• 函数等价于零无意义
• 极限相等是等价的非必要非充分条件(可能两函数的极限都不存在, 另外还需要同阶)

等价量替换定理

• 若函数分别等价,且$\lim \frac{f'(x)g'(x)}{h'(x)}=A$, 则$\lim \frac{f(x)g(x)}{h(x)} = \lim \frac{f'(x)g'(x)}{h'(x)}=A$
  • 两项相加不能直接使用等价量替换
  • 可以使用$\lim f(x)+g(x) = \lim f(x) + \lim g(x) = \lim f'(x) + \lim g'(x) = \lim f'(x)+g'(x)$, 这里要求各函数极限都存在.
  • 常用极限值(常数)可以代入, 但不保证顺利计算出极限.

给函数极限, 求参数

• 求等价量,确定参数
• 直接移项得出$常数=\lim g(x)=A$

微分

定义

设$y=f(x)$在$x$的某邻域$U(x)$内有定义，若$\Delta y = f(x+ \Delta x)-f(x)$可表示为
$$
\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta \rightarrow 0),
$$
其中$A$是与$\Delta x$无关的量，则称$y=f(x)$在点$x$处可微. $A\Delta x$是$\Delta y$的线性主部，并称其为$y=f(x)$在点$x$处的微分，记为$dy, dy = A\Delta x$。

积分

变上下限积分的求导公式

d s^b(y)_a(y) = f(b(y))b'(y) - f(a(y))a'(y)

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