微积分学备忘录

均值不等式

四种均值

  1. 平方平均值 Qn=i=1nxi2n
  2. 算术平均值 An=i=1nxin
  3. 几何平均值 Gn=x1x2xnn
  4. 调和平均值 Hn=1i=1n1xi

四种均值的大小关系

QnAnGnHn

证明GnAn

  • 分析: 采用数学归纳法. 易证n=2的情况. 令a=An. 要从n-1推出n, 先让开n次方转为幂次. 左端设法变为a1a2an, 右端设法变为an1×a. 原右边是n-1个数求均, 要变成n个数求均, 需要修改第一项以加入an. 令a2++an1+xn1=a, 左边只能平分n-1份, 少了一份恰为a, 则x=a1+ana. 原左边对应地要将a1替换成a1+ana, 且最后补乘了a, 所以应该建立关系a1an~a(a1+ana). 从不等式(aa1)(aan)0可以获得这个关系.

  • 证明:
    不妨设a1,a2为所有项中的最小,最大值. a=a1++ann, 则a1aan.
    (aa1)(aan)0a1ana(a1+ana)
    易证n=2时成立.
    假设当n-1时成立,即
    a2++an1+(a1+ana)n1a2++an1+(a1+ana)n1=a
    a1a2ana2++an1+a(a1+ana)an1a=an
    a1anna=a1++ann

数列

收敛数列定义

ana,ϵ>0,NZ+,n>N,|ana|<ϵ,ana,
limnan=aana(n)
,.

收敛数列的性质

  • 收敛数列的极限唯一
    • 证法: 反证法.取ϵ=ba2, 当n>maxN1,N2,a+b2<an<a+b2, 矛盾.
  • 收敛数列必有界
    • ϵ1,n>N1,a1<an<a+1.N1,
    • 函数收敛无法保证前有限项
    • 推论: 无界数列发散.
    • 有界不一定收敛(跳跃型)
    • 发散不一定无界(跳跃型)
  • 收敛数列的不等式性质
    • liman<limbn,N,n>N,an<bn
    • 反之不一定成立, 极限可能相等
    • 推论: 若anbn,ab
  • 保号性
    • 若极限值非零, 则有连续无穷多项的符号和极限值相同
    • 保号性是不等式性质的推论
    • 推论: 若有连续无穷多项非负(非正), 则极限值非负(非正) (极限值可能为0).
  • 两数列极限的四则运算
    • 条件是两数列极限存在. 作为除数的极限非零.
    • 推广: 有限项数列极限可进行四则运算.
      • 条件: 各项数列极限存在, 作为除数的极限非零.
      • 对于分式, 调整分子分母使上下极限存在, 套用四则运算化出分子分母极限.
      • 对于型, 通分或有理化成分式.

定理

改变数列的有限项, 数列的收敛性和极限不变

  • 若收敛数列被改变, 设被改变的最后一项是k, 取N=max(k,N1), 就能维持ϵN定义.
  • 若发散数列改变有限项, 变为收敛数列, 则与上矛盾.

limnan=a ϵN定义

ϵ>0,NZ,n>N,|ana|<ϵ.

常见数列极限

  • limnnn=1
    • 分析: 令hn=nn1>0, 难以直接由hn0<ϵ推算出N, 应当适当放大hn. 变形得n=(hn+1)n, 应令右边缩小并抛弃n次方. 用二项式定理展开, 最终得到hn<.
    • 证明:
      hn=nn1>0, 则
      n=(hn+1)n=1+nhn+n(n1)2hn2++hnn>1+n(n1)2hn2
      n>1+n(n1)2hn2hn<2n
      2n<ϵ, 得n>2ϵ2
      ϵ>0,N>2ϵ2,n>N,|nn1|<ϵ.
      limnnn=1
  • limnk1nn=1(k>0)
  • qn0(|q|<1,n)
    • 分析: 若q=0... 若q!=0, 取n > [lnϵln|q|].
  • limnan=1
    • 分析: 若a=1... 若a>1, 强行loga. 若a<1, 倒数.
  • limnn+1n=0
    • 分析: 分子有理化后, 分母缩小(适当放大法).
  • limn1nk=0(k>0)
  • limnnkan=0
    • 分析: 单调有界. 求一下limnxn+1xn. 证明收敛后对递推式两边求极限.
  • limnann!=0
  • limn:
  • limna1n++amnn=max(a1,,am),ai>0 下文分析
  • limn(1+1n)k=1,k 下文分析. 这意味着不对接下来一个极限造成影响
  • limn(1+1n)n=e(e) 收敛性在下文分析
  • limn10!+11!+12!+13!++1n!=e 夹逼准则, 课件1_2-3 22页

无穷大数列定义

ana,M>0,NZ+,n>N,|an|>M,an,an,
limnan=an(n)
,,.limnan=+limnan=

  • 无穷大数列是发散数列(极限不存在), 是无界数列
  • 发散数列不一定是无穷大数列
  • 无界数列不一定是无穷大数列

数列极限存在的准则

夹逼定理

  1. limnan=limnbn=a
  2. ancnbn(n>N0)
  3. limncn=a
  • 分析: 取n>maxN0,N1,N2, 此时a_n, b_n都在邻域内, 所以夹着的c_n也在邻域内.

例子

  • limnn(1n2+π++1n2+nπ)
    • 分析: 分别放大缩小分母.
  • limna1n++amnn=max(a1,,am),ai>0
    • 分析: 常数在开无穷次方根时可以忽略, 因此只挑出最大的, 缩小系数为1, 放大系数为m即可.
  • limn1234562n12n=0
    • 分析: 大于零是显然的, 将分子平方再开方, 利用13<22形式放大分子约分.
  • limn(1+1n)k=1,k
    • 分析: k=0时显然. k为正整数时由有限项极限四则运算可得, k为负整数时倒数. 一般地, 另m=k向下取整, (1+1n)m(1+1n)k(1+1n)m+1), 夹逼.
  • 已知|an+1|q|an|(n>N,0<q<1),证明数列极限为0.
    • 分析:n,考虑第N+n项, 此时0|aN+n|qn1|aN+1|0

数列收敛充要条件: 任一子数列都收敛且极限相等

子数列

  • 原数列中取无穷多项并按原有的次序排列.
  • 一般约定nkk

充要证明

  • 分析:
    • 充分性. 原数列n>N时在邻域内, 则子数列取K使nK>N, 当k>K时, nk>nK>N在邻域内.
    • 必要性. 原数列是原数列的子数列.

推论

数列发散的充要条件是两个子数列极限存在但不相等, 或一个子数列发散.

  • 设法构造易于证明的子数列. 常和三角函数周期性有关系.

若几个子数列的极限存在且相同, 包含的项的并集等于原数列的所有项, 则可得原数列的极限.

  • 分析: 取N>max{N1, N2, ...}, 任意项都在邻域内.

(单调有界准则)单调有界数列必有极限

  • 区分严格单调和不严格单调.
  • 统称单调数列.
  • 分析: 由确界原理得待证极限a.

例子

  • :(1+1n)n
    • 分析: 单调性.均值不等式(1+1n)n1n+1<n(1+1n)+1n+1=1+1n+1, 故an<an+1. 有界性. 二项式展开, 各项放大剩分母阶乘, 阶乘放大到分母为2的幂, 等比求和.
  • limnnkan=0
    • 分析: 单调有界. 求一下limnxn+1xn. 证明收敛后对递推式两边求极限.

单调常用方法

  • 递推式直接看出, 或求两边极限后看出
  • 作差法/作商法, 结合上下界看出

有界常用方法

  • 递推式放缩/均值不等式, 得到界
  • 符号显然

三角函数

定义

  • 余切 cotx=cosxsinx=1tanx
  • 正割 secx=1cosx
  • 余割 cscx=1sinx

变换

弦和公式

  • sin2x+cos2x=1
  • 1+cot2x=csc2x
  • tan2x+1=sec2x

诱导公式

  • 半周期性
    • sin(x+π)=sin(x)
    • cos(x+π)=cos(x)
    • tanx,cotxπ
  • 奇偶性
    • sin(x)=sin(x)
    • cos(x)=cos(x)
    • tan(x)=tan(x)
    • cot(x)=cot(x)
  • 圆关于y轴对称性
    • sin(πx)=sin(x)
    • cos(πx)=cos(x)
    • tan,cotπ,
  • 直角加
    • sin(π/2+x)=cosx
    • cos(π/2+x)=sinx
    • tan(π/2+x)=cotx
    • cot(π/2+x)=tanx
  • 直角减(余角)
    • sin(π/2x)=cosx
    • cos(π/2x)=sinx
    • tan(π/2x)=cotx
    • cot(π/2x)=tanx
  • 倍角公式
    • sin2x=2sinxcosx
    • cos2x=cos2xsin2x
    • tan2x=2tanx1tan2x
  • 半角公式
    • 来源
      cos2x=2cos2x1=12sin2x
    • cos2x2=1+cosx2
    • sin2x2=1cosx2
    • tanx2=sinx2cosx2()=sinx1+cosx=1cosxsinx
  • 万能公式
    • sinx=sin(2x2)=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2tanx21+tan2x2
    • cosx=sin(2x2)=cos2x2sin2x2=1tan2x21+tan2x2
    • tanx=2tanx21tan2x2
  • 积化和差
    • sin(a±b)sincos
    • cos(a±b)sinsin,coscos.
    • sinacosb=12(sin(a+b)+sin(ab))
    • cosasinb=12(sin(a+b)sin(ab))
    • cosacosb=12(cos(a+b)+cos(ab))
    • sinasinb=12(cos(a+b)cos(ab))
  • 和差化积
    • a=a+b2+ab2
    • b=a+b2ab2
    • sina+sinb=2sina+b2cosab2
    • sinasinb=2cosa+b2sinab2
    • cosa+cosb=2cosa+b2cosab2
    • cosacosb=2sina+b2sinab2
    • 帅+帅=帅哥
    • 帅-帅=哥帅
    • 哥+哥=哥哥
    • 哥-哥=负嫂嫂

函数

无穷小量

  • 对任意eps>0, 存在delta去心邻域, 使|f(x)|<eps. 无穷小量是一个变量
  • 无穷小是极限为零的函数
  • 无穷小可能在某邻域为0
  • 0是唯一一个可视作无穷小的常熟

函数极限与无穷小量

  • (定理)xx0,f(x)极限为Af(x)=A+a(x), a(x)为无穷小量

无穷小阶的比较

  • limxx0+f(x)(xx0)k=c0,则当xx0时,f(x)是(xx0)的k阶无穷小.
  • 特殊的无穷小量
    • x0,f(x),g(x),f(x)=(x+1)g(x),f(x)g(x), 尽管他们最高次数不相同
    • 最高次数不同而等价, 意味着相乘不改变等价性, 但相加会改变等价性.
    • 具体例子:f(x)=x3xx2x,g(x)=x,f(x)+g(x)=x3,x2x+x=x2x3
    • 同阶与否与最高次数无关, 一切判定以比值为准.

常用的等价无穷小量

x0

  • sinxx
  • tanxx
  • 1cosx12x
  • 1+xn11nx (n为正整数)(注意是加号)
  • arcsinxx,(u=arcsinx)
  • arctanxx
  • ln(1+x)x,(limln(1+x)1x)
  • ex1x,(u=ex1,limuln(1+u))
  • ax1xlna,(limexlna1x=limxlnax=lna),a>0
  • (1+x)a1ax,(lim(1+x)a1x=limealn(1+x)1x=limaln(1+x)x=a),a0
  • x可以用其他函数替代,只要趋向于0即可

常用变换

  • limx0(1x)1x=1e
  • sinx+x2=x(sinxx+x)
  • tanxsinx=tanx(1cosx)
  • ax=exlna (留意后面有没有-1配合等价无穷小替换)
  • xa=ealnx
  • x,limef(x)g(x),
  • limn(a1n++amnm1)n=limx0(a1x++amxm1)1x=limx0xlna1++xlnammx=lna1amm,m,
  • 次方相同, 底数不同,强行同除?!

    limx0(1+x)1x+(1+2x)12xsinx=e2

  • 求极限的最后, 有界量(尤其与sin,cos有关)乘无穷小量等于无穷小量

无穷小量阶数的性质

  • o(xn)+o(xm)=o(xm),x0,n>m>0
  • o(xn)o(xm)=o(xn+m),x0
  • 无穷小量相加,高阶丢失,保留低阶.
  • 无穷小量相乘,阶数相加.
  • 无穷小量o()=o()是正确的.
  • 无穷小量可以写成f(x)=g(x)+o(x2), 求极限时设法出现o(x2)kx2即可消去

证明题

  • 证明x0,f(x)=g(x)+o(h(x))

    计算limx0f(x)g(x)h(x)=0

  • 证明函数是无穷小量

    证明函数极限为0

  • 证明函数是无节量

    对任意M>0,找到|f(x)|>M

无穷大量

  • 对任意M>0,存在空心邻域(x0, δ), 使|f(x)|>M, 则f(x)是在xx0时的无穷大量
  • 无穷大量不是一个很大的数
  • 无穷大量的极限不存在

无穷大量与无穷小量的关系

  • 无穷大量的倒数量是无穷小量
  • 若无穷小量恒不为零,则该无穷小量的倒数量为无穷大量

等价量

  • 不论无穷大或无穷小, 只要limxx0f(x)g(x)=1, 就称xx0,f(x)g(x),f(x)g(x),(xx0)
  • g(x)可以是不为零的常数.故可以有f(x) A,(A0)
  • 函数等价于零无意义
  • 极限相等是等价的非必要非充分条件(可能两函数的极限都不存在, 另外还需要同阶)

等价量替换定理

  • 若函数分别等价,且limf(x)g(x)h(x)=A, 则limf(x)g(x)h(x)=limf(x)g(x)h(x)=A
    • 两项相加不能直接使用等价量替换
    • 可以使用limf(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=limf(x)+limg(x)=limf(x)+g(x), 这里要求各函数极限都存在.
    • 常用极限值(常数)可以代入, 但不保证顺利计算出极限.

给函数极限, 求参数

  • 求等价量,确定参数
  • 直接移项得出=limg(x)=A

微分

定义

y=f(x)x的某邻域U(x)内有定义,若Δy=f(x+Δx)f(x)可表示为
Δy=AΔx+o(Δx)(Δ0),
其中A是与Δx无关的量,则称y=f(x)在点x处可微. AΔxΔy的线性主部,并称其为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,dy=AΔx

积分

变上下限积分的求导公式

d s^b(y)_a(y) = f(b(y))b'(y) - f(a(y))a'(y)

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