微积分学备忘录

Posted on 2019-02-03 Edited on 2022-01-07

均值不等式

四种均值

平方平均值 $Q_{n} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}$
算术平均值 $A_{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}$
几何平均值 $G_{n} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}}$
调和平均值 $H_{n} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}$

四种均值的大小关系

$Q_{n} \geq A_{n} \geq G_{n} \geq H_{n}$

证明 $G_{n} \leq A_{n}$

分析: 采用数学归纳法. 易证 $n = 2$ 的情况. 令 $a = A_{n}$ . 要从n-1推出n, 先让开n次方转为幂次. 左端设法变为 $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ , 右端设法变为 $a^{n - 1} \times a$ . 原右边是n-1个数求均, 要变成n个数求均, 需要修改第一项以加入 $a_{n}$ . 令 $\frac{a_{2} + \dots + a_{n - 1} + x}{n - 1} = a$ , 左边只能平分n-1份, 少了一份恰为a, 则 $x = a_{1} + a_{n} - a$ . 原左边对应地要将 $a_{1}$ 替换成 $a_{1} + a_{n} - a$ , 且最后补乘了 $a$ , 所以应该建立关系 $a_{1} a_{n}$ ~ $a (a_{1} + a_{n} - a)$ . 从不等式 $(a - a_{1}) (a - a_{n}) \leq 0$ 可以获得这个关系.
证明:
不妨设 $a_{1}, a_{2}$ 为所有项中的最小,最大值. $a = \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$ , 则 $a_{1} \leq a \leq a_{n}$ .
$(a - a_{1}) (a - a_{n}) \leq 0 \Rightarrow a_{1} a_{n} \leq a (a_{1} + a_{n} - a)$
易证n=2时成立.
假设当n-1时成立,即
$\sqrt[n - 1]{a_{2} + \dots + a_{n - 1} + (a_{1} + a_{n} - a)} \leq \frac{a_{2} + \dots + a_{n - 1} + (a_{1} + a_{n} - a)}{n - 1} = a$
$a_{1} a_{2} \dots a_{n} \leq a 2 + \dots + a_{n - 1} + a (a_{1} + a_{n} - a) \leq a^{n - 1} \cdot a = a^{n}$
$∴ \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} \leq a = \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}$

数列

收敛数列定义

$设数列 a_{n} 及常数 a, 若 \forall ϵ > 0, \exists N \in Z^{+}, 当 n > N 时, 总有 | a_{n} - a | < ϵ, 则称数列 a_{n} 的极限为 a, 记作$
$lim_{n \to \infty} a_{n} = a 或 a_{n} \to a (n \to \infty)$
$此时也称数列收敛, 否则称数列发散 .$

收敛数列的性质

收敛数列的极限唯一
- 证法: 反证法.取 $ϵ = \frac{b - a}{2}$ , 当 $n > m a x N_{1}, N_{2}, \frac{a + b}{2} < a_{n} < \frac{a + b}{2}$ , 矛盾.
收敛数列必有界
- $ϵ 取 1, n > N_{1} 时, a - 1 < a_{n} < a + 1. 再考虑前 N_{1} 有限项, 可知有界$
- 函数收敛无法保证前有限项
- 推论: 无界数列发散.
- 有界不一定收敛(跳跃型)
- 发散不一定无界(跳跃型)
收敛数列的不等式性质
- $lim a_{n} < lim b_{n}, 则 \exists N, 当 n > N, a_{n} < b_{n}$
- 反之不一定成立, 极限可能相等
- 推论: 若 $a_{n} \geq b_{n},$ 则 $a \geq b$
保号性
- 若极限值非零, 则有连续无穷多项的符号和极限值相同
- 保号性是不等式性质的推论
- 推论: 若有连续无穷多项非负(非正), 则极限值非负(非正) (极限值可能为0).
两数列极限的四则运算
- 条件是两数列极限存在. 作为除数的极限非零.
- 推广: 有限项数列极限可进行四则运算.
  - 条件: 各项数列极限存在, 作为除数的极限非零.
  - 对于分式, 调整分子分母使上下极限存在, 套用四则运算化出分子分母极限.
  - 对于 $\infty - \infty$ 型, 通分或有理化成分式.

定理

改变数列的有限项, 数列的收敛性和极限不变

若收敛数列被改变, 设被改变的最后一项是k, 取 $N = max (k, N_{1})$ , 就能维持 $ϵ - N$ 定义.
若发散数列改变有限项, 变为收敛数列, 则与上矛盾.

$lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ $ϵ - N$ 定义

$\forall ϵ > 0, \exists N \in Z^{*}, 当 n > N 时, 总有 | a_{n} - a | < ϵ .$

常见数列极限

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
- 分析: 令 $h_{n} = \sqrt[n]{n} - 1 > 0$ , 难以直接由 $h_{n} - 0 < ϵ$ 推算出 $N$ , 应当适当放大 $h_{n}$ . 变形得 $n = (h_{n} + 1)^{n}$ , 应令右边缩小并抛弃n次方. 用二项式定理展开, 最终得到 $h_{n} < 某个值$ .
- 证明:
  令 $h_{n} = \sqrt[n]{n} - 1 > 0$ , 则
  $n = (h_{n} + 1)^{n} = 1 + n h_{n} + \frac{n (n - 1)}{2} h_{n}^{2} + \dots + h_{n}^{n} > 1 + \frac{n (n - 1)}{2} h_{n}^{2}$
  $\Rightarrow n > 1 + \frac{n (n - 1)}{2} h_{n}^{2} \Rightarrow h_{n} < \sqrt{\frac{2}{n}}$
  令 $\sqrt{\frac{2}{n}} < ϵ$ , 得 $n > \frac{2}{ϵ^{2}}$
  $∴ \forall ϵ > 0, 取 N > \frac{2}{ϵ^{2}}, 则当 n > N 时, 总有 | \sqrt[n]{n} - 1 | < ϵ$ .
  $∴ lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{k \frac{1}{n}} = 1 (k > 0)$
$q^{n} \to 0 (| q | < 1, n \to \infty)$
- 分析: 若q=0... 若q!=0, 取n > $[\frac{\ln ϵ}{\ln | q |}]$ .
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$
- 分析: 若a=1... 若a>1, 强行 $\log_{a}$ . 若a<1, 倒数.
$lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = 0$
- 分析: 分子有理化后, 分母缩小(适当放大法).
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0 (k > 0)$
$lim_{n \to \infty} \frac{n^{k}}{a^{n}} = 0$
- 分析: 单调有界. 求一下 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}}$ . 证明收敛后对递推式两边求极限.
$lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0$
$lim_{n \to \infty} 分式 : 观察最高次$
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = m a x (a_{1}, \dots, a_{m}), a_{i} > 0$ 下文分析
$lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{k} = 1, k 是任意常数$ 下文分析. 这意味着不对接下来一个极限造成影响
$lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e (e 的一个定义)$ 收敛性在下文分析
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} = e$ 夹逼准则, 课件1_2-3 22页

无穷大数列定义

$设数列 a_{n} 及常数 a, 若 \forall M > 0, \exists N \in Z^{+}, 当 n > N 时, 总有 | a_{n} | > M, 则称数列 a_{n} 是无穷大数列, 或称 a_{n} 趋于无穷大, 记作$
$lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty 或 a_{n} \to \infty (n \to \infty)$
$特别地, 有正无穷大数列和负无穷大数列, 记作 . lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty 或 lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$

无穷大数列是发散数列(极限不存在), 是无界数列
发散数列不一定是无穷大数列
无界数列不一定是无穷大数列

数列极限存在的准则

夹逼定理

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = a$
$a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} (n > N_{0})$
$\Rightarrow lim_{n \to \infty} c_{n} = a$

分析: 取 $n > m a x N_{0}, N_{1}, N_{2}$ , 此时a_n, b_n都在邻域内, 所以夹着的c_n也在邻域内.

例子

$lim_{n \to \infty} n (\frac{1}{n^{2} + π} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n π})$
- 分析: 分别放大缩小分母.
$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + \dots + a_{m}^{n}} = m a x (a_{1}, \dots, a_{m}), a_{i} > 0$
- 分析: 常数在开无穷次方根时可以忽略, 因此只挑出最大的, 缩小系数为1, 放大系数为m即可.
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \frac{3}{4} \frac{5}{6} \dots \frac{2 n - 1}{2 n} = 0$
- 分析: 大于零是显然的, 将分子平方再开方, 利用 $1 \cdot 3 < 2^{2}$ 形式放大分子约分.
$lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{k} = 1, k 是任意常数$
- 分析: k=0时显然. k为正整数时由有限项极限四则运算可得, k为负整数时倒数. 一般地, 另m=k向下取整, $(1 + \frac{1}{n})^{m} \leq (1 + \frac{1}{n})^{k} \leq (1 + \frac{1}{n})^{m + 1})$ , 夹逼.
已知 $| a_{n + 1} | \leq q | a_{n} | (n > N, 0 < q < 1)$ ,证明数列极限为0.
- 分析: $n \to \infty$ ,考虑第N+n项, 此时 $0 \leq | a_{N + n} | \leq q^{n - 1} | a_{N + 1} | \to 0$

数列收敛充要条件: 任一子数列都收敛且极限相等

子数列

原数列中取无穷多项并按原有的次序排列.
一般约定 $子数列 n_{k} \geq k 原数列$

充要证明

分析:
- 充分性. 原数列n>N时在邻域内, 则子数列取K使 $n_{K} > N$ , 当k>K时, $n_{k} > n_{K} > N$ 在邻域内.
- 必要性. 原数列是原数列的子数列.

推论

数列发散的充要条件是两个子数列极限存在但不相等, 或一个子数列发散.

设法构造易于证明的子数列. 常和三角函数周期性有关系.

若几个子数列的极限存在且相同, 包含的项的并集等于原数列的所有项, 则可得原数列的极限.

分析: 取N>max{N1, N2, ...}, 任意项都在邻域内.

(单调有界准则)单调有界数列必有极限

区分严格单调和不严格单调.
统称单调数列.
分析: 由确界原理得待证极限a.

例子

$数列 : (1 + \frac{1}{n})^{n} 收敛$
- 分析: 单调性.均值不等式 $\sqrt[n + 1]{(1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot 1} < \frac{n (1 + \frac{1}{n}) + 1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n + 1}$ , 故 $a_{n} < a_{n + 1}$ . 有界性. 二项式展开, 各项放大剩分母阶乘, 阶乘放大到分母为2的幂, 等比求和.
$lim_{n \to \infty} \frac{n^{k}}{a^{n}} = 0$
- 分析: 单调有界. 求一下 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}}$ . 证明收敛后对递推式两边求极限.

单调常用方法

递推式直接看出, 或求两边极限后看出
作差法/作商法, 结合上下界看出

有界常用方法

递推式放缩/均值不等式, 得到界
符号显然

三角函数

定义

余切 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$
正割 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$
余割 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$

变换

弦和公式

$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$
$1 + \cot^{2} x = \csc^{2} x$
$\tan^{2} x + 1 = \sec^{2} x$

诱导公式

半周期性
- $\sin (x + π) = - \sin (x)$
- $\cos (x + π) = - \cos (x)$
- $\tan x, \cot x 最小正周期是 π$
奇偶性
- $\sin (- x) = - \sin (x) 奇函数$
- $\cos (- x) = \cos (x) 偶函数$
- $\tan (- x) = - \tan (x) 奇函数$
- $\cot (- x) = - \cot (x) 奇函数$
圆关于y轴对称性
- $\sin (π - x) = \sin (x)$
- $\cos (π - x) = - \cos (x)$
- $\tan, \cot 的周期是 π, 套用奇函数性质$
直角加
- $\sin (π / 2 + x) = \cos x$
- $\cos (π / 2 + x) = - \sin x$
- $\tan (π / 2 + x) = - \cot x$
- $\cot (π / 2 + x) = - \tan x$
直角减(余角)
- $\sin (π / 2 - x) = \cos x$
- $\cos (π / 2 - x) = \sin x$
- $\tan (π / 2 - x) = \cot x$
- $\cot (π / 2 - x) = \tan x$
倍角公式
- $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$
- $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
- $\tan 2 x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x}$
半角公式
- 来源
  $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x$
- $\cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$
- $\sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$
- $\tan \frac{x}{2} = {\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}_{(同乘凑倍角)} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$
万能公式
- $\sin x = \sin (2 \frac{x}{2}) = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{\sec^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{x}{2}}$
- $\cos x = \sin (2 \frac{x}{2}) = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \tan^{2} \frac{x}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{x}{2}}$
- $\tan x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^{2} \frac{x}{2}}$
积化和差
- 用 $\sin (a \pm b)$ 凑 $\sin \cdot \cos$
- 用 $\cos (a \pm b)$ 凑 $\sin \cdot \sin, \cos \cdot \cos .$
- $\sin a \cos b = \frac{1}{2} (\sin (a + b) + \sin (a - b))$
- $\cos a \sin b = \frac{1}{2} (\sin (a + b) - \sin (a - b))$
- $\cos a \cos b = \frac{1}{2} (\cos (a + b) + \cos (a - b))$
- $\sin a \sin b = - \frac{1}{2} (\cos (a + b) - \cos (a - b))$
和差化积
- $a = \frac{a + b}{2} + \frac{a - b}{2}$
- $b = \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2}$
- $\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}$
- $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$
- $\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}$
- $\cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$
- 帅+帅=帅哥
- 帅-帅=哥帅
- 哥+哥=哥哥
- 哥-哥=负嫂嫂

函数

无穷小量

对任意eps>0, 存在delta去心邻域, 使 $| f (x) | < e p s$ . 无穷小量是一个变量
无穷小是极限为零的函数
无穷小可能在某邻域为0
0是唯一一个可视作无穷小的常熟

函数极限与无穷小量

（定理） $x \to x_{0}$ ,f(x)极限为A $\Leftrightarrow f (x) = A + a (x)$ , a(x)为无穷小量

无穷小阶的比较

$lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f (x)}{(x - x_{0})^{k}} = c \neq 0$ ,则当 $x \to x_{0}$ 时,f(x)是 $(x - x_{0})$ 的k阶无穷小.
特殊的无穷小量
- $x \to 0, f (x), g (x) 是无穷小量, 且 f (x) = (x + 1) g (x), 则 f (x) \sim g (x)$ , 尽管他们最高次数不相同
- 最高次数不同而等价, 意味着相乘不改变等价性, 但相加会改变等价性.
- 具体例子: $f (x) = x^{3} - x \sim x^{2} - x, g (x) = x, f (x) + g (x) = x^{3}, 但 x^{2} - x + x = x^{2} 不等价于 x^{3}$
- 同阶与否与最高次数无关, 一切判定以比值为准.

常用的等价无穷小量

$x \to 0$ 时

$\sin x \sim x$
$\tan x \sim x$
$1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x$
$\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n} x$ (n为正整数)(注意是加号)
$\arcsin x \sim x, (u = \arcsin x)$
$\arctan x \sim x$
$\ln (1 + x) \sim x, (lim \ln (1 + x)^{\frac{1}{x}})$
$e^{x} - 1 \sim x, (u = e^{x} - 1, lim \frac{u}{\ln (1 + u)})$
$a^{x} - 1 \sim x \ln a, (lim \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} = lim \frac{x \ln a}{x} = \ln a), a > 0$
$(1 + x)^{a} - 1 \sim a x, (lim \frac{(1 + x)^{a} - 1}{x} = lim \frac{e^{a \ln (1 + x)} - 1}{x} = lim \frac{a \ln (1 + x)}{x} = a), a \neq 0$
x可以用其他函数替代，只要趋向于0即可

常用变换

$lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{e}$
$\sin x + x^{2} = x (\frac{\sin x}{x} + x)$
$\tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x)$
$a^{x} = e^{x \ln a}$ (留意后面有没有-1配合等价无穷小替换)
$x^{a} = e^{a \ln x}$
在 $x \to \infty, 求 lim e^{f (x) g (x)}, 留意最高次相同 \Rightarrow 系数比$
$lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt[n]{a_{1}} + \dots + \sqrt[n]{a_{m}}}{m} - 1) n = lim_{x \to 0} (\frac{a_{1}^{x} + \dots + a_{m}^{x}}{m} - 1) \frac{1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x \ln a_{1} + \dots + x \ln a_{m}}{m x} = \ln \sqrt[m]{a_{1} \dots a_{m}}, m 是正整数, 归结准则$
次方相同, 底数不同,强行同除?!

求 $lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} + (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x} = \frac{e}{2}$
求极限的最后, 有界量(尤其与 $\sin \infty$ , $\cos \infty$ 有关)乘无穷小量等于无穷小量

无穷小量阶数的性质

$o (x^{n}) + o (x^{m}) = o (x^{m}), x \to 0, n > m > 0$
$o (x^{n}) \cdot o (x^{m}) = o (x^{n + m}), x \to 0$
无穷小量相加，高阶丢失，保留低阶.
无穷小量相乘，阶数相加.
无穷小量 $o (高阶) = o (低阶)$ 是正确的.
无穷小量可以写成 $f (x) = g (x) + o (x^{2})$ , 求极限时设法出现 $\frac{o (x^{2})}{k x^{2}}$ 即可消去

证明题

证明 $x \to 0, f (x) = g (x) + o (h (x))$

计算 $lim_{x \to 0} \frac{f (x) - g (x)}{h (x)} = 0$
证明函数是无穷小量

证明函数极限为0
证明函数是无节量

对任意M>0,找到 $| f (x) | > M$

无穷大量

对任意M>0，存在空心邻域(x0, $δ$ ), 使 $| f (x) | > M$ , 则f(x)是在 $x \to x 0$ 时的无穷大量
无穷大量不是一个很大的数
无穷大量的极限不存在

无穷大量与无穷小量的关系

无穷大量的倒数量是无穷小量
若无穷小量恒不为零,则该无穷小量的倒数量为无穷大量

等价量

不论无穷大或无穷小, 只要 $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$ , 就称 $当 x \to x_{0} 时, f (x) 与 g (x) 是等价的量, 记作 f (x) \sim g (x), (x \to x_{0})$
g(x)可以是不为零的常数.故可以有 $f (x) A, (A \neq 0)$
函数等价于零无意义
极限相等是等价的非必要非充分条件(可能两函数的极限都不存在, 另外还需要同阶)

等价量替换定理

若函数分别等价,且 $lim \frac{f^{'} (x) g^{'} (x)}{h^{'} (x)} = A$ , 则 $lim \frac{f (x) g (x)}{h (x)} = lim \frac{f^{'} (x) g^{'} (x)}{h^{'} (x)} = A$
- 两项相加不能直接使用等价量替换
- 可以使用 $lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x) = lim f^{'} (x) + lim g^{'} (x) = lim f^{'} (x) + g^{'} (x)$ , 这里要求各函数极限都存在.
- 常用极限值(常数)可以代入, 但不保证顺利计算出极限.

给函数极限, 求参数

求等价量,确定参数
直接移项得出 $常数 = lim g (x) = A$

微分

定义

设 $y = f (x)$ 在 $x$ 的某邻域 $U (x)$ 内有定义，若 $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ 可表示为
$Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ \to 0),$
其中 $A$ 是与 $Δ x$ 无关的量，则称 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微. $A Δ x$ 是 $Δ y$ 的线性主部，并称其为 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处的微分，记为 $d y, d y = A Δ x$ 。

积分

变上下限积分的求导公式

d s^b(y)_a(y) = f(b(y))b'(y) - f(a(y))a'(y)

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