微积分学备忘录
均值不等式
四种均值
- 平方平均值
- 算术平均值
- 几何平均值
- 调和平均值
四种均值的大小关系
证明
分析: 采用数学归纳法. 易证
的情况. 令 . 要从n-1推出n, 先让开n次方转为幂次. 左端设法变为 , 右端设法变为 . 原右边是n-1个数求均, 要变成n个数求均, 需要修改第一项以加入 . 令 , 左边只能平分n-1份, 少了一份恰为a, 则 . 原左边对应地要将 替换成 , 且最后补乘了 , 所以应该建立关系 ~ . 从不等式 可以获得这个关系.证明:
不妨设 为所有项中的最小,最大值. , 则 .
易证n=2时成立.
假设当n-1时成立,即
数列
收敛数列定义
收敛数列的性质
- 收敛数列的极限唯一
- 证法: 反证法.取
, 当 , 矛盾.
- 证法: 反证法.取
- 收敛数列必有界
- 函数收敛无法保证前有限项
- 推论: 无界数列发散.
- 有界不一定收敛(跳跃型)
- 发散不一定无界(跳跃型)
- 收敛数列的不等式性质
- 反之不一定成立, 极限可能相等
- 推论: 若
则
- 保号性
- 若极限值非零, 则有连续无穷多项的符号和极限值相同
- 保号性是不等式性质的推论
- 推论: 若有连续无穷多项非负(非正), 则极限值非负(非正) (极限值可能为0).
- 两数列极限的四则运算
- 条件是两数列极限存在. 作为除数的极限非零.
- 推广: 有限项数列极限可进行四则运算.
- 条件: 各项数列极限存在, 作为除数的极限非零.
- 对于分式, 调整分子分母使上下极限存在, 套用四则运算化出分子分母极限.
- 对于
型, 通分或有理化成分式.
定理
改变数列的有限项, 数列的收敛性和极限不变
- 若收敛数列被改变, 设被改变的最后一项是k, 取
, 就能维持 定义. - 若发散数列改变有限项, 变为收敛数列, 则与上矛盾.
定义
常见数列极限
- 分析: 令
, 难以直接由 推算出 , 应当适当放大 . 变形得 , 应令右边缩小并抛弃n次方. 用二项式定理展开, 最终得到 . - 证明:
令 , 则
令 , 得
.
- 分析: 令
- 分析: 若q=0... 若q!=0, 取n >
.
- 分析: 若q=0... 若q!=0, 取n >
- 分析: 若a=1... 若a>1, 强行
. 若a<1, 倒数.
- 分析: 若a=1... 若a>1, 强行
- 分析: 分子有理化后, 分母缩小(适当放大法).
- 分析: 单调有界. 求一下
. 证明收敛后对递推式两边求极限.
- 分析: 单调有界. 求一下
下文分析 下文分析. 这意味着不对接下来一个极限造成影响 收敛性在下文分析 夹逼准则, 课件1_2-3 22页
无穷大数列定义
- 无穷大数列是发散数列(极限不存在), 是无界数列
- 发散数列不一定是无穷大数列
- 无界数列不一定是无穷大数列
数列极限存在的准则
夹逼定理
- 分析: 取
, 此时a_n, b_n都在邻域内, 所以夹着的c_n也在邻域内.
例子
- 分析: 分别放大缩小分母.
- 分析: 常数在开无穷次方根时可以忽略, 因此只挑出最大的, 缩小系数为1, 放大系数为m即可.
- 分析: 大于零是显然的, 将分子平方再开方, 利用
形式放大分子约分.
- 分析: 大于零是显然的, 将分子平方再开方, 利用
- 分析: k=0时显然. k为正整数时由有限项极限四则运算可得, k为负整数时倒数. 一般地, 另m=k向下取整,
, 夹逼.
- 分析: k=0时显然. k为正整数时由有限项极限四则运算可得, k为负整数时倒数. 一般地, 另m=k向下取整,
- 已知
,证明数列极限为0.- 分析:
,考虑第N+n项, 此时
- 分析:
数列收敛充要条件: 任一子数列都收敛且极限相等
子数列
- 原数列中取无穷多项并按原有的次序排列.
- 一般约定
充要证明
- 分析:
- 充分性. 原数列n>N时在邻域内, 则子数列取K使
, 当k>K时, 在邻域内. - 必要性. 原数列是原数列的子数列.
- 充分性. 原数列n>N时在邻域内, 则子数列取K使
推论
数列发散的充要条件是两个子数列极限存在但不相等, 或一个子数列发散.
- 设法构造易于证明的子数列. 常和三角函数周期性有关系.
若几个子数列的极限存在且相同, 包含的项的并集等于原数列的所有项, 则可得原数列的极限.
- 分析: 取N>max{N1, N2, ...}, 任意项都在邻域内.
(单调有界准则)单调有界数列必有极限
- 区分严格单调和不严格单调.
- 统称单调数列.
- 分析: 由确界原理得待证极限a.
例子
- 分析: 单调性.均值不等式
, 故 . 有界性. 二项式展开, 各项放大剩分母阶乘, 阶乘放大到分母为2的幂, 等比求和.
- 分析: 单调性.均值不等式
- 分析: 单调有界. 求一下
. 证明收敛后对递推式两边求极限.
- 分析: 单调有界. 求一下
单调常用方法
- 递推式直接看出, 或求两边极限后看出
- 作差法/作商法, 结合上下界看出
有界常用方法
- 递推式放缩/均值不等式, 得到界
- 符号显然
三角函数
定义
- 余切
- 正割
- 余割
变换
弦和公式
诱导公式
- 半周期性
- 奇偶性
- 圆关于y轴对称性
- 直角加
- 直角减(余角)
- 倍角公式
- 半角公式
- 来源
- 来源
- 万能公式
- 积化和差
- 用
凑 - 用
凑
- 用
- 和差化积
- 帅+帅=帅哥
- 帅-帅=哥帅
- 哥+哥=哥哥
- 哥-哥=负嫂嫂
函数
无穷小量
- 对任意eps>0, 存在delta去心邻域, 使
. 无穷小量是一个变量 - 无穷小是极限为零的函数
- 无穷小可能在某邻域为0
- 0是唯一一个可视作无穷小的常熟
函数极限与无穷小量
- (定理)
,f(x)极限为A , a(x)为无穷小量
无穷小阶的比较
,则当 时,f(x)是 的k阶无穷小.- 特殊的无穷小量
, 尽管他们最高次数不相同- 最高次数不同而等价, 意味着相乘不改变等价性, 但相加会改变等价性.
- 具体例子:
- 同阶与否与最高次数无关, 一切判定以比值为准.
常用的等价无穷小量
时
(n为正整数)(注意是加号)- x可以用其他函数替代,只要趋向于0即可
常用变换
(留意后面有没有-1配合等价无穷小替换)- 在
- 次方相同, 底数不同,强行同除?!
求
- 求极限的最后, 有界量(尤其与
, 有关)乘无穷小量等于无穷小量
无穷小量阶数的性质
- 无穷小量相加,高阶丢失,保留低阶.
- 无穷小量相乘,阶数相加.
- 无穷小量
是正确的. - 无穷小量可以写成
, 求极限时设法出现 即可消去
证明题
- 证明
计算
- 证明函数是无穷小量
证明函数极限为0
- 证明函数是无节量
对任意M>0,找到
无穷大量
- 对任意M>0,存在空心邻域(x0,
), 使 , 则f(x)是在 时的无穷大量 - 无穷大量不是一个很大的数
- 无穷大量的极限不存在
无穷大量与无穷小量的关系
- 无穷大量的倒数量是无穷小量
- 若无穷小量恒不为零,则该无穷小量的倒数量为无穷大量
等价量
- 不论无穷大或无穷小, 只要
, 就称 - g(x)可以是不为零的常数.故可以有
- 函数等价于零无意义
- 极限相等是等价的非必要非充分条件(可能两函数的极限都不存在, 另外还需要同阶)
等价量替换定理
- 若函数分别等价,且
, 则- 两项相加不能直接使用等价量替换
- 可以使用
, 这里要求各函数极限都存在. - 常用极限值(常数)可以代入, 但不保证顺利计算出极限.
给函数极限, 求参数
- 求等价量,确定参数
- 直接移项得出
微分
定义
设
在 的某邻域 内有定义,若 可表示为
其中是与 无关的量,则称 在点 处可微. 是 的线性主部,并称其为 在点 处的微分,记为 。
积分
变上下限积分的求导公式
d s^b(y)_a(y) = f(b(y))b'(y) - f(a(y))a'(y)
[toc]
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